10進数と2進数
10進数と2進数とは、数字の表し方を示す方式です。
10進数と2進数の他にも16進数等もあります。
○進数の○の部分の数字は、「桁が繰り上がるときのルール（基準となる数字）」を指します。
私たちが普段使っている数字は10進数で表されているので、10進数を例に考えてみましょう。
例えば、普段私たちは0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の次は？と聞かれたら、10と答えますよね。
9までは1桁で、10で2桁に繰り上がりました。
同様に、3桁に繰り上がるときは、100(10×10)で、4桁に繰り上がるときは1000（10×10×10）で繰り上がります。
「10」という数字を基準に桁を繰り上げて表現しているわけです。
このように、実は数字には桁を繰り上げるときのルールがあり、ルールによって、10進数、2進数といったように表現の仕方が変わります。
10進数とは
10進数とは、「10」を基準に桁が繰り上がる数字の表し方です。
普段、私たちが普通に使っている数字表現はこの10進数で表されています。
普通に使っているものなので、当たり前の話が続きますが、この後で説明する2進数を理解しやすくする為に、改めて10進数の数字について、説明します。
10進数は、10で桁が繰り上がるので、「0~9」で数字を表現しています。
具体的な数字表現のルールとしては、以下のような感じです。
- 1桁目：一の位（10の0乗（1）の位）
- 2桁目：十の位（10の1乗(10)の位）
- 3桁目：百の位（10の2乗（10×10）の位）
- 4桁目：千の位（10の3乗（10×10×10）の位）
- 5桁目：万の位（10の4乗（10×10×10×10）の位）
例えば、10進数の「15」は、一の位が「5」、十の位が「1」なので、分解してみると、
1×5＋10×1＝5＋10＝「15」と表すことができます。
10進数の「26」は、一の位が「6」、十の位が「2」なので、分解してみると、
1×6+10×2=6+20=「26」と表すことができます。
2進数とは
2進数とは、「2」を基準に桁が繰り上がる数字の表し方です。
イメージがつかないと思うので、2進数の表し方の例を出すと、以下のようなイメージです。
※具体的な解説は後程します。
- 10進数の「15」を2進数で表すと「1111」
- 10進数の「26」を2進数で表すと「11010」
2進数では、2で桁が繰り上がってしまうので、[0」と「1」だけで数字を表現します。
では、具体的にどのようなルールで数字を表現しているかを解説していきます。
- 1桁目：一の位（2の0乗（1）の位）
- 2桁目：二の位（2の1乗(2)の位）
- 3桁目：四の位（2の2乗（2×2）の位）
- 4桁目：八の位（2の3乗（2×2×2）の位）
- 5桁目：十六の位（2の4乗（2×2×2×2）の位）
例えば、「1111」であれば、一の位（1桁目）が1、二の位（2桁目）が1、四の位（3桁目）が1、八の位（4桁目）が1です。
つまり、10進数で表すと、1×1＋2×1＋4×1＋8×1＝1＋2＋4＋8=「15」となります。
「11010」であれば、一の位（1桁目）が0、二の位（2桁目）が1、四の位（3桁目）が0、八の位（4桁目）が1、十六の位（5桁目）が1です。
10進数で表すと、1×0＋2×1＋4×0＋8×1＋16×1=0＋2＋0＋8＋16=「26」となります。
2進数はコンピュータや機械が理解するための数字表現として使われます。
コンピュータや機械は2進数で「数字」を理解して、私たちが分かるように「文字」として10進数で表しています。
（「1101」のような形で計算を行い、「13」のように画面に映している感じです。）
10進数と2進数の変換
○進数では、○の数字によって位（桁）が変わるので、位ごとに考える癖を付けると理解しやすいです。
例えば、2進数の「1110」は、一の位が「0」、二の位が「1」、四の位が「1」、八の位が「1」なので、10進数で表すと、1×0+2×1+4×1+8×1＝0+2+4+8=「14」となります。
このように、10進数から2進数に変換するときは、「桁ごとに計算して、最後に合算する」が○進数の計算の基本的な考え方です。
2進数の他にも、16進数などがありますが、基本的に考え方は同じです。
（16進数ではアルファベットが登場したりするので、今回は説明を省きます）
ここまでの基本的な考え方を理解した上で、2進数を10進数に変換する公式をご紹介しておきます。（先ほどまでの計算と比べて楽だと思う方で、計算すればよいです。）
（1桁目）×2⁰+（2桁目）×2¹+（3桁目）×2²+・・・+（○桁目）×（2の○-1乗）
少し複雑なようですが、上記の式の×2の部分の数字を変えれば、他の○進数でも計算できます。
（ちなみに、○⁰、つまり、○の0乗は、○がどんな数字でも全て「1」です。）
公式は慣れたら使えばよいです。
公式は少し複雑なので、ややこしく思えてしまうかもしれませんが、「位の基準となる数字が変わること」と「位・桁ごとに計算して合算すること」を覚えておけば計算できます。
逆に、10進数から2進数に変換するときは、「2進数の一番大きな桁がどの位・桁になるか」から考えていきます。
2進数の桁は、一の位、二の位、四の位、八の位、十六の位、三十二の位・・・と位が増えていきます。
例えば、10進数の「13」を表す際に、2進数はどの桁が一番大きくなるかというと、十六の位だと「13」を超えてしまうので、八の位が一番大きな桁になります。
八の位が「1」になることが決まりました。次に、「8」を表現できたので、残りの13-8=「5」を表現していきます。
2進数で八の位の1つ下は四の位です。「5」は「4」が入っているので、四の位も「1」にします。
これで残りは、5-4=「1」となります。2進数で四の位の1つ下は二の位です。
「1」は「2」が入らないので、二の位は「0」とします。
2進数で二の位の1つ下は一の位です。
（少し日本語が変ですが）「1」は「1」が入っているので、一の位は「1」とします。
合わせると、10進数の「13」は2進数では、八の位が「1」、四の位が「1」、二の位が「0」、一の位が「1」、つまり、「1101」と表現します。
